1. Investigue la Ley de la palanca descubierta por Arquímedes e ilustre como se aplica para encontrar el centro de gravedad de un cuerpo. ¿Qué supone el pensamiento de centro de gravedad? ¿Podría pensarse que Arquímedes fuera un atomista?
2. Establezca en términos modernos la demostración de Arquímedes en The Method, que puede encontrarse en la referencia
págians 15-17, acerca de que el área de un segmento de parábola acotado por la secante AC tiene un área de 4/3 el área del triángulo ABC, siendo B el punto de la parábola obtenido con una paralela al eje desde el punto medio de la secante AC. Caracterice a grandes rasgos el método empleado por Arquímedes para obtener esta cuadratura. Con este método, que consagra el uso de la balanza en el estudio de áreas y volúmenes aplicado a indivisibles, Arquímedes llega a descubrir las fórmulas de estas cuadraturas, pero sabe que este uso de un principio físico no constituye por sí mismo una prueba rigurosa. Para ello debe proceder geométricamente, y en su obra Cuadratura de la Parábola procede a ello, como puede estudiarse en la referencia http://www.ux1.eiu.edu/~cfdmb/4900/archimedes.pdf. Explique lo que se entendía por cuadratura y un posible origen de dicho nombre.
3. Explique la manera en que Arquímedes obtuvo la fórmula para el volumen de una esfera.
4. Exponga los axiomas y teoremas en que se basó Arquímedes para obtener la fórmula para el área de un círculo y explique cuidadosamente su demostración. ¿Qué papel juega aquí el llamado Principio Arquimediano tan usado en el análisis?
5. ¿Cómo llegó Arquímedes a calcular el número pi y qué aproximación logró de él? ¿Cuál sería la dificultad para mejorar la aproximación usando su método?
6. Describa la definición de la espiral de Arquímedes y enuncie sus principales propiedades.
Comentario elaborado por Daniela Sierra
ResponderEliminarEjercicio 5)
El descubrimiento de la relación aproximada entre la circunferencia y su diámetro es la relación que se designa como PI
Arquímedes demostró que el lado del hexágono regular inscrito en un círculo es igual al radio de dicho círculo; así como que el lado del cuadrado circunscrito a un círculo es igual al diámetro de dicho círculo. De la primera proposición dedujo que el perímetro del hexágono inscrito era tres veces el diámetro de la circunferencia, mientras que de la segunda dedujo que el perímetro del cuadrado circunscrito era cuatro veces el diámetro de la circunferencia. (P=3*D<PI*D<P=4*D)
Afirmó además que toda línea cerrada envuelta por otra es de menor longitud que ésta, por lo que la circunferencia debía ser mayor que tres diámetros pero menor que cuatro diámetros. Así construyo polígonos regulares inscritos y circunscritos a una circunferencia, estimando así la longitud de ésta mediante los perímetros de aquellos. La dificultad era cada vez calcular el lado del polígono regular para poder obtener su perímetro. Al llegar a trabajar con el polígono de 96 lados, obtuvo que PI estaba entre:
223/71<PI<22/7
que es aproximadamente:
3,1408<PI<3,1428
Con los rudimentarios medios de los que disponía el sabio griego, el error absoluto que cometió en el cálculo de PI resultó ser inferior a una milésima (0,0040%). Pero cualquier aproximación mejor de PI quedaba abierta. Bastaba con crecer el número de los lados de los polígonos regulares inscrito y circunscrito y hallar geométricamente su valor para encontrar mejores aproximaciones para PI.
Ejercicio 6)
La definición que dio Arquímedes en el año 225 a.c.
"Si una línea recta que permanece fija en un extremo, se le hace girar en el plano con velocidad constante comenzando por el extremo fijo, el punto describe en el plano una espiral".
Un ejemplo de esta espiral lo encontramos al enrollar una cuerda sobre si misma o también en la espiritrompa de una mariposa (La estira para introducirla a las flores y alimentarse). Como es muy sencilla de construir aparece también mucho en la cerámica popular.
Arquímedes de Siracusa, físico y matemático griego, quien fascinado por su belleza realizó un estudio profundo de las propiedades de esta curva, en un escrito titulado "De las espirales" por lo que desde entonces se le conoce como espiral de Arquímedes.
La característica de la espiral de Arquímedes es que entre dos espiras, la distancia es la misma, la expansión y la rotación tienen lugar a la misma velocidad, el vínculo entre ellas es lineal.
Su ecuación expresada en coordenadas polares es r=a*teta
Una propiedad interesante que observó Arquímedes es la siguiente:
"El área de la espiral en su primera vuelta es igual a la tercera parte del área del circulo que la envuelve"
Aunque esta curva le permitió atacar dos de los tres problemas clásicos: La cuadratura del círculo y la trisección del ángulo, por desgracia Arquímedes, los griegos exigían la resolución sólo por regla y compás, y su curva, la espiral uniforme, no se puede construir sólo con esos instrumentos.
La Espiral de Arquímedes puede ser usada para la división de un ángulo en n partes (donde se incluye la trisección angular) y puede también ser usada en la cuadratura del círculo.
En sus 28 proposiciones varias se refieren a las áreas de las espirales:
*"El área barrida por el radio en la segunda vuelta es 6 veces el área de la primera vuelta"
**El área barrida en la segunda revolución está en razón 7/12 con el círculo cuyo radio es la posición final del radio vector".
Ejercicio 1)
ResponderEliminarEl trabajo de Arquímedes por convertir la estática en un cuerpo doctrinal riguroso es comparable al realizado por Euclides con el mismo propósito de respecto a la geometría. Este esfuerzo se refleja especialmente en dos de sus libros: en Sobre el equilibrio de los planos, donde fundamentó la ley de la Palanca deduciéndola a partir de un número reducido de postulados, y determinó el centro de gravedad de paralelogramos, triángulos, trapecios y el de n segmento de parábola. El otro libro es Sobre el Cilindro y la Esfera.
"SOBRE EL EQUILIBRIO DE LOS PLANOS"
En esta obra Arquímedes desarrolla la llamada Ley de la Palanca, en varios postulados (teoría) y proposiciones (práctica):
>> Postulado 1: Pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio y pesos iguales a distancias desiguales no están en equilibrio sino que se inclina (la palanca) hacia el peso que está a mayor distancia.
Se sobreentiende que las distancias se miden desde el fulcro o punto de apoyo de la palanca.
>> Postulado 2: Si, cuando los pesos ubicados a ciertas distancias están en equilibrio, se agrega algo a uno de los pesos ya no estarán en equilibrio, sino que desciende el lado donde se ha agregado peso.
>> Postulado 3: Análogamente, si algo se quita de uno de los pesos, ya no permanecerán en equilibrio y desciende el peso del que no se ha quitad nada.
En los Postulados 2 y 3, se considera de manera implícita que todo es pesado y que la ligereza de un cuerpo no es otra cosa que la cualidad de ser menos pesado que otro cuerpo.
Por otra parte, estos Postulados resultan evidentes si nos imaginamos en la situación de estar realizando pesadas en una balanza de platillos de brazos iguales.
>> Postulado 4: Cuando figuras semejantes son iguales y se superponen una con otra sus centros de gravedad coinciden.
>> Postulado 5: En figuras semejantes que son desiguales, los centros de gravedad estarán similarmente situados. Por puntos análogos ubicados con relación a figuras semejantes, quiero decir puntos tales que si se trazan lineas rectas desde ellos con ángulos iguales, dichas líneas forman ángulos iguales con los correspondientes lados de las figuras.
Este postulado establece que figuras semejantes, es decir de la misma "forma" pero desiguales, es decir de diferente tamaño, tendrán sus centros de gravedad en la misma posición "relativa".
>> Postulado 6: Si magnitudes a ciertas distancias están en equilibrio, otras magnitudes iguales a ellas también estarán en equilibrio a las mismas distancias.
En este postulado, se plantea que a los efectos del equilibrio sólo son relevantes la magnitud y la distancia, con independencia de la forma o la sustancia. Es fundamental para la deducción de la Ley de la Palanca.
Cuando Arquímedes dice "magnitudes iguales a otras magnitudes" quiere decir "magnitudes del mismo peso". Y cuando dice "magnitudes a ciertas distancias" quiere decir "los centros de gravedad de las magnitudes están a la misma distancia del fulcro".
>> Postulado 7: En cualquier figura cuyo perímetro es cóncavo en una y la misma dirección, el centro de gravedad debe estar dentro de la figura.
Continuación Ejercicio 1)
ResponderEliminarCon estos postulados, Arquímedes ha convertido un ámbito físico en una cuestión geométrica y, en el libro I de Sobre los planos, procede a demostrar rigurosamente siete proposiciones sobre el equilibrio.
>>> Proposición 1:Pesos que se equilibran a iguales distancias son iguales.
Enuncia la inversa de la primera parte del Postulado 1, que se puede demostrar por el absurdo utilizando el postulado 3. De acuerdo al postulado 1 y a la proposición 1, la igualdad de pesos y distancias es condición necesaria y suficiente del equilibrio.
>>> Proposición 2: Pesos desiguales a distancias iguales no se equilibrarán sino que se inclinarán hacia el lado del peso mayor.
>>> Proposición 3: Pesos desiguales se equilibran a distancias desiguales, el peso más grande estará a menor distancia que el peso más pequeño.
>>> Proposición 4: Si dos pesos iguales no tienen el mismo centro de gravedad, el centro de gravedad de ambos tomados conjuntamente está en el punto medio de la linea que une sus centros de gravedad.
>>> Proposición 5: Si tres magnitudes iguales tienen sus centros de gravedad sobre una linea recta a distancias iguales, el centro de gravedad del sistema coincidirá con el centro de gravedad de la magnitud ubicada en el punto medio.
>>> Corolario 1: Lo mismo es verdad para cualquier número impar de magnitudes, si aquellas que están a iguales distancias del punto medio son iguales, mientras la distancia entre sus centros de gravedad sean iguales.
>>> Corolario 2: Si hay un número par de magnitudes con sus centros de gravedad situados a iguales distancias sobre una linea recta y si las dos del medio son iguales, mientras que aquellas que equidistan entre si (a cada lado) son iguales respectivamente, el centro de gravedad del sistema es el punto medio de la linea que une los centros de gravedad de los dos del medio.
Daniela Sierra.
Ejercicio 3)
ResponderEliminarEn la obra Sobre la Esfera y el Cilindro, utilizó Arquímedes el método denominado de Exhaustión precedente del cálculo integral para determinar la superficie de una esfera y para establecer la relación entre una esfera y el cilindro circunscrito en ella.
Hola, que interesante. Estoy incursionando en el mundo de la historia de la matemàtica y me encantarìa estar en contacto.
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