Los Elementos de Euclides

Los siguientes enunciados:

1. La suma de [las medidas de] los ángulos de cualquier triángulo es igual a [la suma de las medidas de] dos ángulos rectos.
   Elementos, I, 32. (Proposición ya conocida en tiempos de Aristóteles, siglo IV a. C.)
2. Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio, siglos I-II a. C.)
3. Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una paralela (Claudio Ptolomeo siglo II).
   Ésta es, sin duda, la formulación más conocida del postulado. Tanto es así que es muy frecuente encontrar libros en los que se dice que es éste el quinto postulado de Euclides.
4. Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita (Proclo, siglo V).
5. Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta (Thābit ibn Qurra, h. 826-901).
6. Todos los puntos equidistantes de una línea recta, situados a un lado determinado de ella, constituyen una línea recta (Clavio, 1574).
7. Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado (Wallis, 1663).
8. Existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes (Saccheri, 1733).
9. En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto. (Clairaut, 1741).
10. Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada (Gauss, 1799).
11. Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos (Legendre, 1824).

son todos equivalentes al V Postulado de Euclides, según el cual SI UNA RECTA AL INCIDIR SOBRE OTRAS DOS FORMA CON ELLAS, DE UN MISMO LADO, ANGULOS INTERNOS MENORES QUE DOS RECTOS, ENTONCES LAS DOS RECTAS, PROLONGADAS INDEFINIDAMENTE SE CORTARÁN DE ESE LADO.

1. Escriba el enunciado del V Postulado de los Elementos; explíquelo con sus propias palabras y con un gráfico. Explique luego las tres primeras equivalencias que se han planteado de dicho postulado en la Historia de la matemática, demostrándolas rigurosamente.
2. Haga una demostración rigurosa de las equivalencias 4, 5 y 6.
3. Haga una demostración rigurosa de las equivalencias 7, 8 y 9.
4. Haga una demostración rigurosa de las equivalencias 10 Y 11.
5. Explique la demostración que hace Euclides del teorema de Pitágoras en I,47.
6. Explique la proposición acerca de que los números primos son infinitos que hace Euclides en Elements, IX, 20. 
7. Interprete y demuestre la proposición "If as many numbers as we please beginning from a unit are set out continuously in double proportion until the sum of all becomes prime, and if the sum multiplied into the last makes some number, then the product is perfect", que enuncia  Euclides en Elements, IX, 36.