Teorema de Pitágoras, Diofanto y Fermat

Con este nombre se ha consagrado un resultado que ya era conocido por los babilonios para triángulos específicos, al menos mil años antes de Pitágoras de Samos (582 - 507 a. C.) y que suele enunciarse como:

El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene un área igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los otros lados

Tan importante y antiguo resultado constituye uno de los grandes secretos que permiten que el hombre goce de cierto dominio sobre la naturaleza. Su aplicación ha sido definitiva en la arquitectura, la construcción de todo tipo de artefactos, en lo relativo a la ortogonalidad, y, muy destacadamente, en la teoría de números, sobre todo en lo pertinente a las denominadas ternas pitagóricas y teorema de Fermat.

Aunque es muy inverosímil la leyenda de que Pitágoras habría sacrificado 100 bueyes a las Musas, en agradecimiento por tan prodigiosa inspiración (sobre todo porque el ritual Pitagórico prohibía cualquier sacrificio en el que hubiera derramamiento de sangre), tratándose de un hecho tan conocido por los antiguos que le habían precedido, sí puede afirmarse que la escuela Pitagórica generalizó y concentró el interés en problemas relacionados con el enunciado que se guardó con su nombre para las posteridades.

Puede ser aún más incierto determinar la línea de demostración que originalmente asumieron los griegos para establecer, conforme a su ética deductiva, la validez del teorema de Pitágoras. Aunque la proposición I.47 del libro I de los Elementos de Euclides (http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf) emprende esta demostración, probablemente no sea esta línea deductiva la que se seguía en tiempos de los Pitagóricos, durante los siglos VI y V a.C. Se obtiene una prueba más elemental con los métodos algebraicos del Libro II de los Elementos de Euclides. Puede construirse un cuadrado de lado a + b y dividir su área en los dos cuadrados esquineros de lados a y b, respectivamente  y los dos rectángulos de dimensiones a y b, cada uno de los cuales a su vez puede dividirse en dos triángulos rectángulos iguales entre sí y de área ab/2, de modo que el área del cuadrado sobre a + b se ve sucesivamente en cada una de las dos figuras subyacentes, como:

a^2+b^2+2ab = a^2+b^2+4(ab/2) = (a+b)^2 = c^2+4(ab/2)

Con ésto queda mostrado geométricamente el resultado milenario conocido como Teorema de Pitágoras, según el cual:

a^2+b^2=c^2,

al verse el mismo cuadrado primero como la adición de dos cuadrados esquineros  a^2 y b^2 y los cuatro triángulos rectángulos, y luego como la adición del cuadrado central c^2 y los 4 triángulos rectángulos esquineros.

E independientemente de los griegos y los babilonios, se registra entre los chinos   cerca del año 600 a.C., como puede estimarse a partir de evidencias astronómicas, en Arithmetic Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven, una figura que inspira por sí sola, con gran simplicidad, una prueba sin palabras del teorema de Pitágoras, con sus tres cuadrados concéntricos: el construido sobre a + b, el construido sobre la hipotenusa c y el cuadrado central construido sobre a - b, para el caso en que a=4, b=3 y c=5,

Puede verse aquí, por una parte, que 

(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab;

por otra, que

(a + b)^2 = c^2 + 4(ab/2),

con lo cual a^2 + b^2 = c^2, y, finalmente que 

c^2  = (a - b)^2 + 4(ab/2),

de donde también se obtiene a^2 + b^2 = c^2. Esta sería la línea demostrativa que retomaría el Hindú Bhaskara (nacido en 1114 d.C.) en  el Vijaganita (Cálculo de raíces), donde como prueba del teorema de Pitágoras se limita a consignar, sin una palabra más, la figura siguiente:

(cfr Burton, David H. History of Mathematics, 7 Edition, 2011), donde se evidencia el hecho de que el cuadrado construido sobre la hipotenusa c de cada uno de los triángulos comprende un área formada por cuatro triángulos iguales, que pueden organizarse como dos rectángulos de áreas ab cada uno, y el cuadrado central, de área (a-b)^2. Cabe destacar aquí lo que figura como demostración pura en el espíritu meditabundo oriental. En la figura de la izquierda se aprecia el cuadrado de área c^2 y, a la derecha, la misma área que forma c^2 se organiza como el cuadrado construido sobre el cateto a, seguido del cuadrado construido sobre el cateto b.

Ejercicio 1. Ingéniese o encuentre otras dos pruebas del teorema de Pitágoras.

La teoría de números se interesa en el teorema de Pitágoras, en cuanto incluye determinar ternas de números naturales, soluciones de la ecuación Diofántica cuadrática x^2 + y^2 = z^2, el cual sería notablemente el único caso en que x^n+y^n=z^n es soluble en los enteros, para n entero positivo, de acuerdo con el último teorema de Fermat, según con el cual la ecuación x^n+y^n=z^n no tiene solución en los naturales para n>2. Este Teorema apenas fue demostrado en 1993 por el británico Andrew Wiles.

Los números naturales x, y, z forman una terna pitagórica primitiva,  si resuelven la ecuación x^2 + y^2 = z^2 y tienen máximo común divisor igual a 1, es decir m.c.d.(x,y,z)=1, lo cual se expresa diciendo que los tres números son primos entre sí.

Ejercicio 2. Pruebe que si tres naturales x, y, z forman una terna Pitagórica primitiva, entonces uno de los dos, x o y, es par. Pruebe además que, en consecuencia, uno de los tres números es par.

Ejercicio 3. Pruebe que si tres números  naturales x, y, z forman una terna Pitagórica primitiva, entonces tomados de a pares son también primos relativos. 

Ejercicio 4. Pruebe que si a y b son números naturales primos entre sí tales que ab=c^2 con c número natural, entonces a y b son también cuadrados. 

Ejercicio 5. (Caracterización de las ternas Pitagóricas). Pruebe que  tres números  naturales x, y, z forman una terna Pitagórica primitiva con x par, si y sólo si x=2pq, y=p^2-q^2, z=p^2+q^2.

Como una aplicación de esta caracterización de las ternas Pitagóricas, que remonta a los Babilonios, demuestre la siguiente propiedad de los triángulos Pitagóricos, denominados así los triángulos rectángulos cuyos lados son números naturales.

Ejercicio 6. Pruebe que el radio de un circulo inscrito a un triángulo Pitagórico es un entero.

Ejercicio 7. Verifique que 3, 4, 5 es la única terna Pitagórica con números naturales consecutivos.

Otro resultado notable sobre los triángulos Pitagóricos es el establecido por Fermat en los márgenes de la famosa Arithmetica de Diofanto que acostumbraba leer en sus asuetos: el área de un triángulo Pitagórico nunca puede ser un cuadrado perfecto, de lo cual logra demostración, apoyándose en otras dos teoremas probados por él mismo sobre la imposibilidad de solución en los naturales de las ecuaciones Diofánticas x^4+y^4=z^2 y x^4-y^4=z^2; tales pruebas pueden consultarse en Burton, Elementary Number Theory, 5th Edition, 2002. Se ofrece pues aquí un suculento ejercicio que enlaza  3 grandes mojones de las matemáticas: Pitágoras, Diofanto y Fermat.

Ejercicio 8. Pruebe primero que la ecuación Diofántica x^4+y^4=z^2 
no tiene solución en los números naturales y obtenga de aquí como corolario que x^4+y^4=z^4 no tiene solución en los números naturales.

Ejercicio 9. Pruebe ahora que la ecuación Diofántica x^4-y^4=z^2 no tiene solución en los números naturales.


Ejercicio 10. Pruebe por fin que   el área de un triángulo Pitagórico nunca puede ser un cuadrado perfecto, apoyándose en los resultados de los ejercicios 8 y 9.

Matemática Alejandrina

1. Demuestre geométricamente el teorema de Herón (10-70 d. C.), según el cual el área de un triángulo de lados a, b y c se obtiene como la raíz cuadrada del producto s(s-a)(s-b)(s-c), siendo  s =1/2( a+b+c) el semiperímetro del triángulo.
2. En el s. VII d.C.,  Brahmagupta encontró la fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (aquel cuyos vértices quedan sobre un círculo), en función de los lados. Enuncie y demuestre esta fórmula que generaliza la fórmula de Herón para el área de un triángulo.
3. Describa los logros astronómicos de Hiparco y su invención de la trigonometría y la tabla de cuerdas.
4. Demuestre el teorema de Ptolomeo, según el cual, en un cuadrilátero cíclico, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los dos pares de lados opuestos.
5. Describa el modelo del epiciclo y el deferente que incorporaría Ptolomeo a la astronomía por más de 1000 años para explicar los movimientos de los cuerpos celestes. ¿Qué lo diferencia del antiguo modelo de las esferas concéntricas ideado por Eudoxo y simplificado por Aristóteles? ¿Qué movimientos explica el modelo Ptolemaico que no explicaba el de Eudoxo? 
6. ¿Qué problemas presentará el modelo Ptolemaico que obligan a Kepler a abandonarlo y proponer otro modelo?
7. Describa los aportes de Menelao al estudio del triángulo esférico.
8. Enuncie, ilustre y demuestre el Teorema de Menelao, que se encuentra en su Spherica.
9. Enuncie, ilustre y demuestre el Teorema de Pappus, llamado de las tres X, usando adecuadamente el teorema de Menelao.

Los Elementos de Euclides

Los siguientes enunciados:

1. La suma de [las medidas de] los ángulos de cualquier triángulo es igual a [la suma de las medidas de] dos ángulos rectos.
   Elementos, I, 32. (Proposición ya conocida en tiempos de Aristóteles, siglo IV a. C.)
2. Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio, siglos I-II a. C.)
3. Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una paralela (Claudio Ptolomeo siglo II).
   Ésta es, sin duda, la formulación más conocida del postulado. Tanto es así que es muy frecuente encontrar libros en los que se dice que es éste el quinto postulado de Euclides.
4. Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita (Proclo, siglo V).
5. Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta (Thābit ibn Qurra, h. 826-901).
6. Todos los puntos equidistantes de una línea recta, situados a un lado determinado de ella, constituyen una línea recta (Clavio, 1574).
7. Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado (Wallis, 1663).
8. Existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes (Saccheri, 1733).
9. En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto. (Clairaut, 1741).
10. Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada (Gauss, 1799).
11. Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos (Legendre, 1824).

son todos equivalentes al V Postulado de Euclides, según el cual SI UNA RECTA AL INCIDIR SOBRE OTRAS DOS FORMA CON ELLAS, DE UN MISMO LADO, ANGULOS INTERNOS MENORES QUE DOS RECTOS, ENTONCES LAS DOS RECTAS, PROLONGADAS INDEFINIDAMENTE SE CORTARÁN DE ESE LADO.

1. Escriba el enunciado del V Postulado de los Elementos; explíquelo con sus propias palabras y con un gráfico. Explique luego las tres primeras equivalencias que se han planteado de dicho postulado en la Historia de la matemática, demostrándolas rigurosamente.
2. Haga una demostración rigurosa de las equivalencias 4, 5 y 6.
3. Haga una demostración rigurosa de las equivalencias 7, 8 y 9.
4. Haga una demostración rigurosa de las equivalencias 10 Y 11.
5. Explique la demostración que hace Euclides del teorema de Pitágoras en I,47.
6. Explique la proposición acerca de que los números primos son infinitos que hace Euclides en Elements, IX, 20. 
7. Interprete y demuestre la proposición "If as many numbers as we please beginning from a unit are set out continuously in double proportion until the sum of all becomes prime, and if the sum multiplied into the last makes some number, then the product is perfect", que enuncia  Euclides en Elements, IX, 36.  

Arquímedes Padre del Cálculo

1. Investigue la Ley de la palanca descubierta por Arquímedes e ilustre como se aplica para encontrar el centro de gravedad de un cuerpo. ¿Qué supone el pensamiento de centro de gravedad? ¿Podría pensarse que Arquímedes fuera un atomista?

2. Establezca en términos modernos la demostración de Arquímedes  en The Method, que puede encontrarse en la referencia http://ia600404.us.archive.org/21/items/cu31924005730563/cu31924005730563.pdf
págians 15-17, acerca de que el área de un segmento de parábola acotado por la secante AC tiene un área de 4/3 el área del triángulo ABC, siendo B el punto de la parábola obtenido con una paralela al eje desde  el punto medio de la secante AC. Caracterice a grandes rasgos el método empleado por Arquímedes para obtener esta cuadratura. Con este método, que consagra el uso de la balanza en el estudio de áreas y volúmenes aplicado a indivisibles, Arquímedes llega a descubrir las fórmulas de estas cuadraturas, pero sabe que este uso de un principio físico no constituye por sí mismo una prueba rigurosa. Para ello debe proceder geométricamente, y en su obra Cuadratura de la Parábola procede a ello, como puede estudiarse en la referencia http://www.ux1.eiu.edu/~cfdmb/4900/archimedes.pdf. Explique lo que se entendía por cuadratura y un posible origen de dicho nombre.

3. Explique la manera en que Arquímedes obtuvo la fórmula para el volumen de una esfera.

4. Exponga los axiomas y teoremas en que se basó Arquímedes para obtener la fórmula para el área de un círculo y explique cuidadosamente su demostración. ¿Qué papel juega aquí el llamado Principio Arquimediano tan usado en el análisis?

5. ¿Cómo llegó Arquímedes a calcular el número pi y qué aproximación logró de él? ¿Cuál sería la dificultad para mejorar la aproximación usando su método?

6. Describa la definición de la espiral de Arquímedes y enuncie sus principales propiedades.

Aritmética Pitagórica

1. Demuestre de dos maneras que la suma de los primeros n naturales es n(n+1)/2. Enliste luego los 10 primeros números triangulares.
2. Exprese mediante una fórmula en términos de n, la relación del n-ésimo número cuadrado con los dos triangulares n-ésimo y (n-1)-ésimo. Ilustre ésto con una figura adecuada.
3. Deduzca lo que era el gnomon para los Pitagóricos y exprese la fórmula que relaciona dos números cuadrados sucesivos con los impares.
4. Deduzca la fórmula que sirvió a Galileo para probar que el espacio recorrido por una masa m bajo la acción de la fuerza gravitacional es proporcional al cuadrado del tiempo.
5. ¿Qué es una terna Pitagórica? Enuncie la regla que tenían los Pitagóricos de construir algunas ternas Pitagóricas que sirvieran de lados para triángulos rectángulos. Construya con dicha regla 3 triángulos rectángulos de lados enteros.
6. Explique las fórmulas n(3n-1)/2 que tenían los Pitagóricos para los números pentagonales y 2n^2 - n  para el número hexagonal de orden n. Liste luego las fórmulas de los primeros seis tipos de números poligonales (observando la relación de cada poligonal de orden n con los triangulares de orden n-1) y consiga la fórmula del m-poligonal de orden n como mPn=n+(m-2)Tn-1,  donde Tn-1 es el número triangular de orden n-1. 
7. Investigue lo que eran los números perfectos para los Pitagóricos y estudie en los Elementos de Euclides la proposición 36 del Libro IX, en la que establece Euclides que si 2^n - 1 es un primo, entonces 2^(n-1)*(2^n - 1) es un número perfecto. Escriba una demostración en términos modernos ¿Habrá números impares que sean perfectos? ¿Cuántos números perfectos identificaron los griegos?
8. Euler llega a probar que todo número perfecto par tiene la forma de Euclides. En tal sentido, demuestre que si m es un número perfecto par, entonces es de la forma m = 2^(n-1)*(2^n - 1). (Suponga que m es un perfecto par y, por tanto que m=2^(n-1)*q, con q impar y (n, q)=1, de modo que todo factor de m tiene la forma 2^r*d, siendo r entero en [0,n-1]  y d un divisor de q, y obtenga luego el resultado).
9. El árabe Thabit Ibn Qurra (836-901), de la Casa de la Sabiduría en Bagdad, encontró un algoritmo para determinar pares de números amigos: si p=3*2^(t+1)-1, q=3*2^t-1 y  r=9*2^(2t+1)-1  son números primos impares, entonces m=2^(t+1)*p*q  y  n=2^(t+1)*r  son números amigos.
10. Pruebe la afirmación de Plutarco (100 d.C.) de que sumar 1 a 8 veces un triangular da un cuadrado.
11. Pruebe que si se suma 1 a 9 veces un triangular se obtiene siempre otro triangular.
12. Verifique que 1225 y 41616 son al mismo tiempo cuadrados y números triangulares.
13. Compruebe la identidad  [n(n-1)+1]+[n(n-1)+3]+...+[n(n-1)+(2n-1)] = n^3 para todo n natural, de dos maneras.
14. En 1644, en su Cogitata Physica-Mathematica, el Padre Marin Mersenne determinó que el número de Mersenne Mp era primo cuando p era 2, 3, 5, 7, 17, 19, 31, 67, 127, 257 y compuesto para todo otro p < 257. En 1772, Euler verificó que M31= 2147483647 era efectivamente primo, revisando todos los primos hasta 46339 como posibles divisores, pero M67, M127, M257 rebasaron su técnica. Apenas en 1947, con la calculadora de disco pudieron revisarse los Mp para los 55 primos menores que 257, y pudo verse que Mersenne erró en 5 ocasiones: concluyó erróneamente que M67,  y M257 eran primos y excluyó de la lista de primos a M61, M87, M107. Con ésto Euler se anotó el octavo (enliste los 7 anteriores) número perfecto de 19 cifras

2^30(2^31 - 1) = 2,305,843,008,139,952,128 .

Raíz cuadrada de los Babilonios

1) La manera como los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213 era con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Metrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 a.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir

r(n+1)=[r(n)+a/r(n)]/2. 

Pruebe con este método a obtener la aproximación mencionada para √2 y determine el número de iteraciones necesarias. Encuentre también √5 con este método y cuántas iteraciones se requieren para tener fijas las 5 primeras cifras decimales.

2) En una segunda etapa defina e = r(1)- √a  y demuestre que la sucesión {r(n)} converge a √a, probando por inducción que

0 <  r(n+1) -  √a  < 2 √a [e / (2√a)]^2^n

converge a 0 cuando n tiende a infinito, ya que 0 < e < 1.

Este problema figura como ejercicio en
ANGLIN & LAMBEK. The Heritage of Thales. Springer-Verlag New York, 1995, pp. 22-23.

References: Babylonian Square Roots
Gullberg, Jan. (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. New York: W.W. Norton & Company.
Joseph, George Gheverghese. (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. London: Penguin Books.
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.

Volumen de la pirámide

1. Investigue qué son prismas y pirámides. Defina claramente lo que son unos y otros sólidos y dibújelos con precisión. (Puede observar este video http://www.youtube.com/watch?v=QNQKMyEBiuM. Observe también http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/primaria/actividades/geometria/cuerpos/volumen_piramide/actividad.html.
También resulta ilustrativo al respecto de prismas y pirámides la página http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volum3.htm)

2. Se dice que el atomista Demócrito de Abdera encontró que el volumen de una pirámide era la tercera parte del volumen de un prisma de la misma base y  altura. Para probar este teorema considere un prisma triangular y pártalo en tres pirámides de igual volumen. Así llega a obtenerse que el  Volumen de la pirámide triangular es igual a un tercio del volumen del prisma triangular con la misma base y la misma altura. Ya luego, para extender el resultado a cualquier prisma poligonal con base un n-gono, bastará descomponer la base en (n-2) triángulos T1, T2, ..., Tn-2 para obtener (n-2) pirámides triangulares con la misma base y altura, de modo que el volumen V de la pirámide inicial será la suma de los n-2 volúmenes todos iguales y, en consecuencia V = 1/3 (AT1+AT2+ ...+ATn-2)H, o sea V=1/3 (Base x Altura), siendo H la altura de la pirámide y ATi el área del i-ésimo triángulo en que se partió el polígono de la base. Puede echar una ojeada a la página http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/volumen/volumen.htm.

3. Trate de conseguir otra prueba del mismo teorema que no obligue a partir al prisma triangular en tres pirámides y muestre que el volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma triangular con la misma base y la misma altura. Use que el volumen V de un tronco de prisma entre la base y un plano que corte a las aristas a alturas h1, h2 y h3 se obtiene como el producto de su base por el promedio de dichas alturas, es decir:

V = Base * ( h1 + h2 + h3)/3.

   

Ejercicios de Matemáticas Egipcia y Babilónica

1) De los Egipcios causa fuerte sorpresa cómo llegaron a obtener la fórmula para el volumen V de un tronco de pirámide cuadrada de base mayor con lado a y base menor con lado b, el cual viene dado por

V=h(aa+ab+bb)/3.

Podemos pues ponernos como problema obtener esta fórmula a partir de la fórmula para el volumen Vp de la pirámide con base cuadrada de lado a, obtenido como Vp=haa/3. Este problema se encuentra como Problema 14 en el Papiro de Moscú y muestra que conocían además que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de la misma base y altura.


2)  Para multiplicar 37 por 25, los Egipcios escribían dos columnas así:

37      1

74      2

148     4

296     8

592    16

determine cómo calcular el resultado y por qué este método permite escribir el resultado a partir de la representación binaria del multiplicador 25, sumando las partes aparejadas con los unos de (25)2 = 11001 (DE ABAJO HACIA ARRIBA), como

(37*25) = (592*1) + (296*1) + (148*0) + (74*0) + (37*1) = 925

3) Para multiplicar 37 por 25 también procedían equivalentemente los Egipcios como

37      25

74      12

148     6

296     3

592    1 

Explique por qué y cómo funciona.

4) ¿Qué es una terna pitagórica? Compruebe el método por el que los babilonios determinaban ternas pitagóricas, y encuentre luego con dicho método 5 ternas distintas.


5) Considere un rectángulo de altura h  y ancho w, con h>w, y sea d su diagonal. ¿Qué aproximación hacían de d los babilonios y cómo puede justificarse dicha aproximación?


6) ¿Qué fórmula usaban los babilonios para el área del círculo y qué valor suponen para pi? 


7) En el sistema babilónico ¿cuáles eran los símbolos básicos?, ¿cómo se construían los números naturales y las operaciones de sumar y restar con estos símbolos?


8) Dar un bosquejo de la forma como los babilónicos representaban y efectuaban las cuatro operaciones básicas.

9) Se conoce que los babilonios utilizaban también tablas de cuadrados, raíces cuadradas, cubos y raíces cúbicas. Cuando las raíces daban un número entero se tenía un valor exacto, pero cuando aparecían los números irracionales ¿cuál era la concepción de ellos acerca de estos números?

10) Escriba 6000 y 5999 con cada uno de los sistemas de numeración Babilonio y Egipcio y comente el resultado.