V=h(aa+ab+bb)/3.
Podemos pues ponernos como problema obtener esta fórmula a partir de la fórmula para el volumen Vp de la pirámide con base cuadrada de lado a, obtenido como Vp=haa/3. Este problema se encuentra como Problema 14 en el Papiro de Moscú y muestra que conocían además que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de la misma base y altura.
2) Para multiplicar 37 por 25, los Egipcios escribían dos columnas así:
2) Para multiplicar 37 por 25, los Egipcios escribían dos columnas así:
37 1
74 2
148 4
296 8
592 16
determine cómo calcular el resultado y por qué este método permite escribir el resultado a partir de la representación binaria del multiplicador 25, sumando las partes aparejadas con los unos de (25)2 = 11001 (DE ABAJO HACIA ARRIBA), como
(37*25) = (592*1) + (296*1) + (148*0) + (74*0) + (37*1) = 925
3) Para multiplicar 37 por 25 también procedían equivalentemente los Egipcios como
37 25
74 12
148 6
296 3
592 1
Explique por qué y cómo funciona.
4) ¿Qué es una terna pitagórica? Compruebe el método por el que los babilonios determinaban ternas pitagóricas, y encuentre luego con dicho método 5 ternas distintas.
5) Considere un rectángulo de altura h y ancho w, con h>w, y sea d su diagonal. ¿Qué aproximación hacían de d los babilonios y cómo puede justificarse dicha aproximación?
6) ¿Qué fórmula usaban los babilonios para el área del círculo y qué valor suponen para pi?
7) En el sistema babilónico ¿cuáles eran los símbolos básicos?, ¿cómo se construían los números naturales y las operaciones de sumar y restar con estos símbolos?
8) Dar un bosquejo de la forma como los babilónicos representaban y efectuaban las cuatro operaciones básicas.
9) Se conoce que los babilonios utilizaban también tablas de cuadrados, raíces cuadradas, cubos y raíces cúbicas. Cuando las raíces daban un número entero se tenía un valor exacto, pero cuando aparecían los números irracionales ¿cuál era la concepción de ellos acerca de estos números?
10) Escriba 6000 y 5999 con cada uno de los sistemas de numeración Babilonio y Egipcio y comente el resultado.
5) Considere un rectángulo de altura h y ancho w, con h>w, y sea d su diagonal. ¿Qué aproximación hacían de d los babilonios y cómo puede justificarse dicha aproximación?
6) ¿Qué fórmula usaban los babilonios para el área del círculo y qué valor suponen para pi?
7) En el sistema babilónico ¿cuáles eran los símbolos básicos?, ¿cómo se construían los números naturales y las operaciones de sumar y restar con estos símbolos?
8) Dar un bosquejo de la forma como los babilónicos representaban y efectuaban las cuatro operaciones básicas.
9) Se conoce que los babilonios utilizaban también tablas de cuadrados, raíces cuadradas, cubos y raíces cúbicas. Cuando las raíces daban un número entero se tenía un valor exacto, pero cuando aparecían los números irracionales ¿cuál era la concepción de ellos acerca de estos números?
10) Escriba 6000 y 5999 con cada uno de los sistemas de numeración Babilonio y Egipcio y comente el resultado.
Con respecto a la pregunta 4, es fascinante la fórmula de que disponían, aunque no escrita simbólicamente, sino expresada en casos concretos: Para hallar una terna pitagórica (x, y, z) tal que xx + yy = zz,
ResponderEliminarse hacía x = pp - qq
y = 2pq
z = pp + qq
Con respecto a la pregunta 3 puede notarse que al dividir por 2 los residuos posibles son 0, 1.
ResponderEliminarPregunta 9)
ResponderEliminarSabemos que los números irracionales no se pueden expresar con un número finito de cifras decimales ni sexagesimales, sin embargo no hay ninguna evidencia en absoluto de que los Babilonios fueran conscientes de este importante hecho, sino que lo que se cree es que pensaban que los irracionales también se podrían expresar de manera exacta en forma sexagesimal, prolongando la expresión hasta donde fuera necesario.
Una excelente aproximación Babilónica fue
√2= 1,414213... en vez del correcto valor 1,414214....
Recordemos que las raíces aparecieron por ejemplo al querer calcular la diagonal dde un rectángulo de altura h y base w.
Se dice que la geometría no tuvo un desarrollo influyente en la cultura de los babilonios ya que su problemas se reducían solamente a cuestiones algebraicas. Algunos cálculos sobre áreas y volúmenes se daban siguiendo ciertas reglas o formulas, sin embargo, las figuras que ilustran los problemas geométricos aparecen dibujadas toscamente y las formulas aplicadas son a menudo incorrectas. Sin embargo se afirma que conocían las relaciones de proporcionalidad y semejanza de triángulos. Al parecer el área de un circulo se calculaba siguiendo la regla A=C^2/12, donde c es la longitud de la circunferencia; esta regla equivale a utilizar a 3 como valor de Pi. Hay otra relación entre el perímetro de un hexágono y su circunferencia circunscrita, supone adoptar un valor de 3+ 1/8 para PI.
ResponderEliminarRespuesta elaborada por Jesús Jimmy Pejendino Burbano.
Les comparto este link que contiene algunas cosas del volumen del tronco de pirámide de base cuadrada(ejercicio 1.) que aparece en el papiro de Moscú.
ResponderEliminarhttp://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/geometria.htm
(Ejercicio 2)
ResponderEliminarLa multiplicación era muy frecuente en múltiples situaciones contables: El cálculo de la superficie de un campo, el precio de varios bienes cuando se conoce su precio unitario, el volumen de una piedra cuando se conocen sus tres dimensiones, etc. La multiplicación empleada por los egipcios, método llamado a veces "duplicación".
Queremos multiplicar dos cantidades: 37*25, la operación se interpreta como una suma reiterada de manera que se ha de repetir 37 veinticinco(25) veces.
Se abrevia el procedimiento mediante duplicaciones sucesivas. Se considera inicialmente con el 37 (una vez). A continuación se duplican estos resultados: 37 (dos veces) son 74. Una nueva duplicación conduce a establecer que 37 cuatro veces es el doble de lo anterior, es decir 148, y así sucesivamente hasta que el número de veces calculado rebase los 25 que deseamos, acá solo duplicamos hasta 16 porque duplicar 16 da 32 que sobrepasa los 25.
Entonces
37__________ 1
74 _________ 2
148_________ 4
296_________ 8
592_________ 16
_____________________ hasta acá porque duplicar 16 nos pasa 25.
El siguiente paso consiste en sumar en la columna de la derecha el número de veces que deseamos repetir el 37, es decir 25=16+8+1 donde corresponden en la columna de la izquierda a:
16>>>>>>>>>592
8>>>>>>>>>>296
1>>>>>>>>>>37
De donde 592+296+37=925=37*25
Pero observemos que (37*25)=(592*1)+(296*1)+(148*0)+(74*0)+(37*1)>>>>> De abajo hacia arriba en la columna izquierda.
Luego de esto de tiene que (25)_2= 11001.
Ejercicio (5)
ResponderEliminarLas raíces aparecen por ejemplo al calcular la diagonal d de un rectángulo de altura h y base w. En un problema se pide calcular la diagonal de una puerta rectangular de altura y anchura dadas; la respuesta viene dada sin más explicaciones, y se reduce a utilizar la fórmula aproximada para la diagonal d.
La aproximación es d= h+ w^2/2h
Esta formula da una buena aproximación de d, si h>w. Así, para el caso h>w, como ocurre en el problema se puede ver que el resultado es bastante razonable, observando que:
d=(h^2 + w^2)^(1/2)=h(1+ w^2/h^2)^(1/2).
Si se desarrolla la última expresión aplicando el teorema binomial y nos quedamos con los dos primeros términos solamente, obtenemos exactamente la formula anterior.
d=h(1+ w^2/h^2)^(1/2)=h[1^(1/2)+(1/2)(w^2/h^2)]
=h[1+w^2/2h^2]=[h+w^2/2h]
Sobre el ejecicio 1) miren el este link para que tengan más o menos la idea.
ResponderEliminarhttp://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/poliedros/volumen-tronco-piramide.html?x1=20070926klpmatgeo_314.Kes&x=20070926
________________________________________________
Consideremos una piramide cuadrada de base mayor a y de altura h´cuyo volumen es:
Va=1/3(a^2 * h´)
Y una pirámide cuadrada de base menor b y de altura h1 cuyo volumen es:
Vb=1/3(a^2 * h1)
Siempre con (a<b).
La altura del tronco de pirámide h=h´-h1 y además se tiene la siguiente relación: h1/(b/2)=h´/(a/2) de donde obtenemos
h´=(a/b)*h1 ---------(1).
Luego:
h1=h´-h =(a/b)*h1-h de donde
h=(a/b)*h1-h1 = h1*((a/b)-1)=h1*(a-b/b)
Y por tanto obtenemos:
h1=h*[b/(a-b)]--------(2).
Entonces el volumen del tronco de pirámide Vt lo vamos a obtener de la siguiente manera:
Vt= Va-Vb= 1/3(a^2*h´ - b^2*h1)
= 1/3[a^2*(a/b)*h1 - b^2*h1]----De(1)
= (1/3)*h1[(a^3/b)-b^2]
= (1/3)*h1[(a^3 - b^3)/b]
= (1/3)*h*[b/(a-b)][(a-b)(a^2+ab+b^2)/b]--De(2)
= (1/3)*h*(a^2+ab+b^2).