Matemática Alejandrina

1. Demuestre geométricamente el teorema de Herón (10-70 d. C.), según el cual el área de un triángulo de lados a, b y c se obtiene como la raíz cuadrada del producto s(s-a)(s-b)(s-c), siendo  s =1/2( a+b+c) el semiperímetro del triángulo.
2. En el s. VII d.C.,  Brahmagupta encontró la fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (aquel cuyos vértices quedan sobre un círculo), en función de los lados. Enuncie y demuestre esta fórmula que generaliza la fórmula de Herón para el área de un triángulo.
3. Describa los logros astronómicos de Hiparco y su invención de la trigonometría y la tabla de cuerdas.
4. Demuestre el teorema de Ptolomeo, según el cual, en un cuadrilátero cíclico, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los dos pares de lados opuestos.
5. Describa el modelo del epiciclo y el deferente que incorporaría Ptolomeo a la astronomía por más de 1000 años para explicar los movimientos de los cuerpos celestes. ¿Qué lo diferencia del antiguo modelo de las esferas concéntricas ideado por Eudoxo y simplificado por Aristóteles? ¿Qué movimientos explica el modelo Ptolemaico que no explicaba el de Eudoxo? 
6. ¿Qué problemas presentará el modelo Ptolemaico que obligan a Kepler a abandonarlo y proponer otro modelo?
7. Describa los aportes de Menelao al estudio del triángulo esférico.
8. Enuncie, ilustre y demuestre el Teorema de Menelao, que se encuentra en su Spherica.
9. Enuncie, ilustre y demuestre el Teorema de Pappus, llamado de las tres X, usando adecuadamente el teorema de Menelao.

Los Elementos de Euclides

Los siguientes enunciados:

1. La suma de [las medidas de] los ángulos de cualquier triángulo es igual a [la suma de las medidas de] dos ángulos rectos.
   Elementos, I, 32. (Proposición ya conocida en tiempos de Aristóteles, siglo IV a. C.)
2. Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio, siglos I-II a. C.)
3. Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una paralela (Claudio Ptolomeo siglo II).
   Ésta es, sin duda, la formulación más conocida del postulado. Tanto es así que es muy frecuente encontrar libros en los que se dice que es éste el quinto postulado de Euclides.
4. Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita (Proclo, siglo V).
5. Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta (Thābit ibn Qurra, h. 826-901).
6. Todos los puntos equidistantes de una línea recta, situados a un lado determinado de ella, constituyen una línea recta (Clavio, 1574).
7. Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado (Wallis, 1663).
8. Existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes (Saccheri, 1733).
9. En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto. (Clairaut, 1741).
10. Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada (Gauss, 1799).
11. Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos (Legendre, 1824).

son todos equivalentes al V Postulado de Euclides, según el cual SI UNA RECTA AL INCIDIR SOBRE OTRAS DOS FORMA CON ELLAS, DE UN MISMO LADO, ANGULOS INTERNOS MENORES QUE DOS RECTOS, ENTONCES LAS DOS RECTAS, PROLONGADAS INDEFINIDAMENTE SE CORTARÁN DE ESE LADO.

1. Escriba el enunciado del V Postulado de los Elementos; explíquelo con sus propias palabras y con un gráfico. Explique luego las tres primeras equivalencias que se han planteado de dicho postulado en la Historia de la matemática, demostrándolas rigurosamente.
2. Haga una demostración rigurosa de las equivalencias 4, 5 y 6.
3. Haga una demostración rigurosa de las equivalencias 7, 8 y 9.
4. Haga una demostración rigurosa de las equivalencias 10 Y 11.
5. Explique la demostración que hace Euclides del teorema de Pitágoras en I,47.
6. Explique la proposición acerca de que los números primos son infinitos que hace Euclides en Elements, IX, 20. 
7. Interprete y demuestre la proposición "If as many numbers as we please beginning from a unit are set out continuously in double proportion until the sum of all becomes prime, and if the sum multiplied into the last makes some number, then the product is perfect", que enuncia  Euclides en Elements, IX, 36.  

Arquímedes Padre del Cálculo

1. Investigue la Ley de la palanca descubierta por Arquímedes e ilustre como se aplica para encontrar el centro de gravedad de un cuerpo. ¿Qué supone el pensamiento de centro de gravedad? ¿Podría pensarse que Arquímedes fuera un atomista?

2. Establezca en términos modernos la demostración de Arquímedes  en The Method, que puede encontrarse en la referencia http://ia600404.us.archive.org/21/items/cu31924005730563/cu31924005730563.pdf
págians 15-17, acerca de que el área de un segmento de parábola acotado por la secante AC tiene un área de 4/3 el área del triángulo ABC, siendo B el punto de la parábola obtenido con una paralela al eje desde  el punto medio de la secante AC. Caracterice a grandes rasgos el método empleado por Arquímedes para obtener esta cuadratura. Con este método, que consagra el uso de la balanza en el estudio de áreas y volúmenes aplicado a indivisibles, Arquímedes llega a descubrir las fórmulas de estas cuadraturas, pero sabe que este uso de un principio físico no constituye por sí mismo una prueba rigurosa. Para ello debe proceder geométricamente, y en su obra Cuadratura de la Parábola procede a ello, como puede estudiarse en la referencia http://www.ux1.eiu.edu/~cfdmb/4900/archimedes.pdf. Explique lo que se entendía por cuadratura y un posible origen de dicho nombre.

3. Explique la manera en que Arquímedes obtuvo la fórmula para el volumen de una esfera.

4. Exponga los axiomas y teoremas en que se basó Arquímedes para obtener la fórmula para el área de un círculo y explique cuidadosamente su demostración. ¿Qué papel juega aquí el llamado Principio Arquimediano tan usado en el análisis?

5. ¿Cómo llegó Arquímedes a calcular el número pi y qué aproximación logró de él? ¿Cuál sería la dificultad para mejorar la aproximación usando su método?

6. Describa la definición de la espiral de Arquímedes y enuncie sus principales propiedades.