Raíz cuadrada de los Babilonios

1) La manera como los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213 era con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Metrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 a.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir

r(n+1)=[r(n)+a/r(n)]/2. 

Pruebe con este método a obtener la aproximación mencionada para √2 y determine el número de iteraciones necesarias. Encuentre también √5 con este método y cuántas iteraciones se requieren para tener fijas las 5 primeras cifras decimales.

2) En una segunda etapa defina e = r(1)- √a  y demuestre que la sucesión {r(n)} converge a √a, probando por inducción que

0 <  r(n+1) -  √a  < 2 √a [e / (2√a)]^2^n

converge a 0 cuando n tiende a infinito, ya que 0 < e < 1.

Este problema figura como ejercicio en
ANGLIN & LAMBEK. The Heritage of Thales. Springer-Verlag New York, 1995, pp. 22-23.

References: Babylonian Square Roots
Gullberg, Jan. (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. New York: W.W. Norton & Company.
Joseph, George Gheverghese. (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. London: Penguin Books.
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.