Aritmética Pitagórica

1. Demuestre de dos maneras que la suma de los primeros n naturales es n(n+1)/2. Enliste luego los 10 primeros números triangulares.
2. Exprese mediante una fórmula en términos de n, la relación del n-ésimo número cuadrado con los dos triangulares n-ésimo y (n-1)-ésimo. Ilustre ésto con una figura adecuada.
3. Deduzca lo que era el gnomon para los Pitagóricos y exprese la fórmula que relaciona dos números cuadrados sucesivos con los impares.
4. Deduzca la fórmula que sirvió a Galileo para probar que el espacio recorrido por una masa m bajo la acción de la fuerza gravitacional es proporcional al cuadrado del tiempo.
5. ¿Qué es una terna Pitagórica? Enuncie la regla que tenían los Pitagóricos de construir algunas ternas Pitagóricas que sirvieran de lados para triángulos rectángulos. Construya con dicha regla 3 triángulos rectángulos de lados enteros.
6. Explique las fórmulas n(3n-1)/2 que tenían los Pitagóricos para los números pentagonales y 2n^2 - n  para el número hexagonal de orden n. Liste luego las fórmulas de los primeros seis tipos de números poligonales (observando la relación de cada poligonal de orden n con los triangulares de orden n-1) y consiga la fórmula del m-poligonal de orden n como mPn=n+(m-2)Tn-1,  donde Tn-1 es el número triangular de orden n-1. 
7. Investigue lo que eran los números perfectos para los Pitagóricos y estudie en los Elementos de Euclides la proposición 36 del Libro IX, en la que establece Euclides que si 2^n - 1 es un primo, entonces 2^(n-1)*(2^n - 1) es un número perfecto. Escriba una demostración en términos modernos ¿Habrá números impares que sean perfectos? ¿Cuántos números perfectos identificaron los griegos?
8. Euler llega a probar que todo número perfecto par tiene la forma de Euclides. En tal sentido, demuestre que si m es un número perfecto par, entonces es de la forma m = 2^(n-1)*(2^n - 1). (Suponga que m es un perfecto par y, por tanto que m=2^(n-1)*q, con q impar y (n, q)=1, de modo que todo factor de m tiene la forma 2^r*d, siendo r entero en [0,n-1]  y d un divisor de q, y obtenga luego el resultado).
9. El árabe Thabit Ibn Qurra (836-901), de la Casa de la Sabiduría en Bagdad, encontró un algoritmo para determinar pares de números amigos: si p=3*2^(t+1)-1, q=3*2^t-1 y  r=9*2^(2t+1)-1  son números primos impares, entonces m=2^(t+1)*p*q  y  n=2^(t+1)*r  son números amigos.
10. Pruebe la afirmación de Plutarco (100 d.C.) de que sumar 1 a 8 veces un triangular da un cuadrado.
11. Pruebe que si se suma 1 a 9 veces un triangular se obtiene siempre otro triangular.
12. Verifique que 1225 y 41616 son al mismo tiempo cuadrados y números triangulares.
13. Compruebe la identidad  [n(n-1)+1]+[n(n-1)+3]+...+[n(n-1)+(2n-1)] = n^3 para todo n natural, de dos maneras.
14. En 1644, en su Cogitata Physica-Mathematica, el Padre Marin Mersenne determinó que el número de Mersenne Mp era primo cuando p era 2, 3, 5, 7, 17, 19, 31, 67, 127, 257 y compuesto para todo otro p < 257. En 1772, Euler verificó que M31= 2147483647 era efectivamente primo, revisando todos los primos hasta 46339 como posibles divisores, pero M67, M127, M257 rebasaron su técnica. Apenas en 1947, con la calculadora de disco pudieron revisarse los Mp para los 55 primos menores que 257, y pudo verse que Mersenne erró en 5 ocasiones: concluyó erróneamente que M67,  y M257 eran primos y excluyó de la lista de primos a M61, M87, M107. Con ésto Euler se anotó el octavo (enliste los 7 anteriores) número perfecto de 19 cifras

2^30(2^31 - 1) = 2,305,843,008,139,952,128 .