Aritmética Pitagórica

1. Demuestre de dos maneras que la suma de los primeros n naturales es n(n+1)/2. Enliste luego los 10 primeros números triangulares.
2. Exprese mediante una fórmula en términos de n, la relación del n-ésimo número cuadrado con los dos triangulares n-ésimo y (n-1)-ésimo. Ilustre ésto con una figura adecuada.
3. Deduzca lo que era el gnomon para los Pitagóricos y exprese la fórmula que relaciona dos números cuadrados sucesivos con los impares.
4. Deduzca la fórmula que sirvió a Galileo para probar que el espacio recorrido por una masa m bajo la acción de la fuerza gravitacional es proporcional al cuadrado del tiempo.
5. ¿Qué es una terna Pitagórica? Enuncie la regla que tenían los Pitagóricos de construir algunas ternas Pitagóricas que sirvieran de lados para triángulos rectángulos. Construya con dicha regla 3 triángulos rectángulos de lados enteros.
6. Explique las fórmulas n(3n-1)/2 que tenían los Pitagóricos para los números pentagonales y 2n^2 - n  para el número hexagonal de orden n. Liste luego las fórmulas de los primeros seis tipos de números poligonales (observando la relación de cada poligonal de orden n con los triangulares de orden n-1) y consiga la fórmula del m-poligonal de orden n como mPn=n+(m-2)Tn-1,  donde Tn-1 es el número triangular de orden n-1. 
7. Investigue lo que eran los números perfectos para los Pitagóricos y estudie en los Elementos de Euclides la proposición 36 del Libro IX, en la que establece Euclides que si 2^n - 1 es un primo, entonces 2^(n-1)*(2^n - 1) es un número perfecto. Escriba una demostración en términos modernos ¿Habrá números impares que sean perfectos? ¿Cuántos números perfectos identificaron los griegos?
8. Euler llega a probar que todo número perfecto par tiene la forma de Euclides. En tal sentido, demuestre que si m es un número perfecto par, entonces es de la forma m = 2^(n-1)*(2^n - 1). (Suponga que m es un perfecto par y, por tanto que m=2^(n-1)*q, con q impar y (n, q)=1, de modo que todo factor de m tiene la forma 2^r*d, siendo r entero en [0,n-1]  y d un divisor de q, y obtenga luego el resultado).
9. El árabe Thabit Ibn Qurra (836-901), de la Casa de la Sabiduría en Bagdad, encontró un algoritmo para determinar pares de números amigos: si p=3*2^(t+1)-1, q=3*2^t-1 y  r=9*2^(2t+1)-1  son números primos impares, entonces m=2^(t+1)*p*q  y  n=2^(t+1)*r  son números amigos.
10. Pruebe la afirmación de Plutarco (100 d.C.) de que sumar 1 a 8 veces un triangular da un cuadrado.
11. Pruebe que si se suma 1 a 9 veces un triangular se obtiene siempre otro triangular.
12. Verifique que 1225 y 41616 son al mismo tiempo cuadrados y números triangulares.
13. Compruebe la identidad  [n(n-1)+1]+[n(n-1)+3]+...+[n(n-1)+(2n-1)] = n^3 para todo n natural, de dos maneras.
14. En 1644, en su Cogitata Physica-Mathematica, el Padre Marin Mersenne determinó que el número de Mersenne Mp era primo cuando p era 2, 3, 5, 7, 17, 19, 31, 67, 127, 257 y compuesto para todo otro p < 257. En 1772, Euler verificó que M31= 2147483647 era efectivamente primo, revisando todos los primos hasta 46339 como posibles divisores, pero M67, M127, M257 rebasaron su técnica. Apenas en 1947, con la calculadora de disco pudieron revisarse los Mp para los 55 primos menores que 257, y pudo verse que Mersenne erró en 5 ocasiones: concluyó erróneamente que M67,  y M257 eran primos y excluyó de la lista de primos a M61, M87, M107. Con ésto Euler se anotó el octavo (enliste los 7 anteriores) número perfecto de 19 cifras

2^30(2^31 - 1) = 2,305,843,008,139,952,128 .

Raíz cuadrada de los Babilonios

1) La manera como los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213 era con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Metrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 a.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir

r(n+1)=[r(n)+a/r(n)]/2. 

Pruebe con este método a obtener la aproximación mencionada para √2 y determine el número de iteraciones necesarias. Encuentre también √5 con este método y cuántas iteraciones se requieren para tener fijas las 5 primeras cifras decimales.

2) En una segunda etapa defina e = r(1)- √a  y demuestre que la sucesión {r(n)} converge a √a, probando por inducción que

0 <  r(n+1) -  √a  < 2 √a [e / (2√a)]^2^n

converge a 0 cuando n tiende a infinito, ya que 0 < e < 1.

Este problema figura como ejercicio en
ANGLIN & LAMBEK. The Heritage of Thales. Springer-Verlag New York, 1995, pp. 22-23.

References: Babylonian Square Roots
Gullberg, Jan. (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. New York: W.W. Norton & Company.
Joseph, George Gheverghese. (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. London: Penguin Books.
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.

Volumen de la pirámide

1. Investigue qué son prismas y pirámides. Defina claramente lo que son unos y otros sólidos y dibújelos con precisión. (Puede observar este video http://www.youtube.com/watch?v=QNQKMyEBiuM. Observe también http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/primaria/actividades/geometria/cuerpos/volumen_piramide/actividad.html.
También resulta ilustrativo al respecto de prismas y pirámides la página http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volum3.htm)

2. Se dice que el atomista Demócrito de Abdera encontró que el volumen de una pirámide era la tercera parte del volumen de un prisma de la misma base y  altura. Para probar este teorema considere un prisma triangular y pártalo en tres pirámides de igual volumen. Así llega a obtenerse que el  Volumen de la pirámide triangular es igual a un tercio del volumen del prisma triangular con la misma base y la misma altura. Ya luego, para extender el resultado a cualquier prisma poligonal con base un n-gono, bastará descomponer la base en (n-2) triángulos T1, T2, ..., Tn-2 para obtener (n-2) pirámides triangulares con la misma base y altura, de modo que el volumen V de la pirámide inicial será la suma de los n-2 volúmenes todos iguales y, en consecuencia V = 1/3 (AT1+AT2+ ...+ATn-2)H, o sea V=1/3 (Base x Altura), siendo H la altura de la pirámide y ATi el área del i-ésimo triángulo en que se partió el polígono de la base. Puede echar una ojeada a la página http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/volumen/volumen.htm.

3. Trate de conseguir otra prueba del mismo teorema que no obligue a partir al prisma triangular en tres pirámides y muestre que el volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma triangular con la misma base y la misma altura. Use que el volumen V de un tronco de prisma entre la base y un plano que corte a las aristas a alturas h1, h2 y h3 se obtiene como el producto de su base por el promedio de dichas alturas, es decir:

V = Base * ( h1 + h2 + h3)/3.

   

Ejercicios de Matemáticas Egipcia y Babilónica

1) De los Egipcios causa fuerte sorpresa cómo llegaron a obtener la fórmula para el volumen V de un tronco de pirámide cuadrada de base mayor con lado a y base menor con lado b, el cual viene dado por

V=h(aa+ab+bb)/3.

Podemos pues ponernos como problema obtener esta fórmula a partir de la fórmula para el volumen Vp de la pirámide con base cuadrada de lado a, obtenido como Vp=haa/3. Este problema se encuentra como Problema 14 en el Papiro de Moscú y muestra que conocían además que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de la misma base y altura.


2)  Para multiplicar 37 por 25, los Egipcios escribían dos columnas así:

37      1

74      2

148     4

296     8

592    16

determine cómo calcular el resultado y por qué este método permite escribir el resultado a partir de la representación binaria del multiplicador 25, sumando las partes aparejadas con los unos de (25)2 = 11001 (DE ABAJO HACIA ARRIBA), como

(37*25) = (592*1) + (296*1) + (148*0) + (74*0) + (37*1) = 925

3) Para multiplicar 37 por 25 también procedían equivalentemente los Egipcios como

37      25

74      12

148     6

296     3

592    1 

Explique por qué y cómo funciona.

4) ¿Qué es una terna pitagórica? Compruebe el método por el que los babilonios determinaban ternas pitagóricas, y encuentre luego con dicho método 5 ternas distintas.


5) Considere un rectángulo de altura h  y ancho w, con h>w, y sea d su diagonal. ¿Qué aproximación hacían de d los babilonios y cómo puede justificarse dicha aproximación?


6) ¿Qué fórmula usaban los babilonios para el área del círculo y qué valor suponen para pi? 


7) En el sistema babilónico ¿cuáles eran los símbolos básicos?, ¿cómo se construían los números naturales y las operaciones de sumar y restar con estos símbolos?


8) Dar un bosquejo de la forma como los babilónicos representaban y efectuaban las cuatro operaciones básicas.

9) Se conoce que los babilonios utilizaban también tablas de cuadrados, raíces cuadradas, cubos y raíces cúbicas. Cuando las raíces daban un número entero se tenía un valor exacto, pero cuando aparecían los números irracionales ¿cuál era la concepción de ellos acerca de estos números?

10) Escriba 6000 y 5999 con cada uno de los sistemas de numeración Babilonio y Egipcio y comente el resultado.