El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene un área igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los otros lados
Tan importante y antiguo resultado constituye uno de los grandes secretos que permiten que el hombre goce de cierto dominio sobre la naturaleza. Su aplicación ha sido definitiva en la arquitectura, la construcción de todo tipo de artefactos, en lo relativo a la ortogonalidad, y, muy destacadamente, en la teoría de números, sobre todo en lo pertinente a las denominadas ternas pitagóricas y teorema de Fermat.
Aunque es muy inverosímil la leyenda de que Pitágoras habría sacrificado 100 bueyes a las Musas, en agradecimiento por tan prodigiosa inspiración (sobre todo porque el ritual Pitagórico prohibía cualquier sacrificio en el que hubiera derramamiento de sangre), tratándose de un hecho tan conocido por los antiguos que le habían precedido, sí puede afirmarse que la escuela Pitagórica generalizó y concentró el interés en problemas relacionados con el enunciado que se guardó con su nombre para las posteridades.
Puede ser aún más incierto determinar la línea de demostración que originalmente asumieron los griegos para establecer, conforme a su ética deductiva, la validez del teorema de Pitágoras. Aunque la proposición I.47 del libro I de los Elementos de Euclides (http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf) emprende esta demostración, probablemente no sea esta línea deductiva la que se seguía en tiempos de los Pitagóricos, durante los siglos VI y V a.C. Se obtiene una prueba más elemental con los métodos algebraicos del Libro II de los Elementos de Euclides. Puede construirse un cuadrado de lado a + b y dividir su área en los dos cuadrados esquineros de lados a y b, respectivamente y los dos rectángulos de dimensiones a y b, cada uno de los cuales a su vez puede dividirse en dos triángulos rectángulos iguales entre sí y de área ab/2, de modo que el área del cuadrado sobre a + b se ve sucesivamente en cada una de las dos figuras subyacentes, como:
a^2+b^2+2ab = a^2+b^2+4(ab/2) = (a+b)^2 = c^2+4(ab/2)
Con ésto queda mostrado geométricamente el resultado milenario conocido como Teorema de Pitágoras, según el cual:
a^2+b^2=c^2,
al verse el mismo cuadrado primero como la adición de dos cuadrados esquineros a^2 y b^2 y los cuatro triángulos rectángulos, y luego como la adición del cuadrado central c^2 y los 4 triángulos rectángulos esquineros.
E independientemente de los griegos y los babilonios, se registra entre los chinos cerca del año 600 a.C., como puede estimarse a partir de evidencias astronómicas, en Arithmetic Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven, una figura que inspira por sí sola, con gran simplicidad, una prueba sin palabras del teorema de Pitágoras, con sus tres cuadrados concéntricos: el construido sobre a + b, el construido sobre la hipotenusa c y el cuadrado central construido sobre a - b, para el caso en que a=4, b=3 y c=5,
Puede verse aquí, por una parte, que
(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab;
por otra, que
(a + b)^2 = c^2 + 4(ab/2),
con lo cual a^2 + b^2 = c^2, y, finalmente que
c^2 = (a - b)^2 + 4(ab/2),
de donde también se obtiene a^2 + b^2 = c^2. Esta sería la línea demostrativa que retomaría el Hindú Bhaskara (nacido en 1114 d.C.) en el Vijaganita (Cálculo de raíces), donde como prueba del teorema de Pitágoras se limita a consignar, sin una palabra más, la figura siguiente:
(cfr Burton, David H. History of Mathematics, 7 Edition, 2011), donde se evidencia el hecho de que el cuadrado construido sobre la hipotenusa c de cada uno de los triángulos comprende un área formada por cuatro triángulos iguales, que pueden organizarse como dos rectángulos de áreas ab cada uno, y el cuadrado central, de área (a-b)^2. Cabe destacar aquí lo que figura como demostración pura en el espíritu meditabundo oriental. En la figura de la izquierda se aprecia el cuadrado de área c^2 y, a la derecha, la misma área que forma c^2 se organiza como el cuadrado construido sobre el cateto a, seguido del cuadrado construido sobre el cateto b.
Ejercicio 1. Ingéniese o encuentre otras dos pruebas del teorema de Pitágoras.
La teoría de números se interesa en el teorema de Pitágoras, en cuanto incluye determinar ternas de números naturales, soluciones de la ecuación Diofántica cuadrática x^2 + y^2 = z^2, el cual sería notablemente el único caso en que x^n+y^n=z^n es soluble en los enteros, para n entero positivo, de acuerdo con el último teorema de Fermat, según con el cual la ecuación x^n+y^n=z^n no tiene solución en los naturales para n>2. Este Teorema apenas fue demostrado en 1993 por el británico Andrew Wiles.
Los números naturales x, y, z forman una terna pitagórica primitiva, si resuelven la ecuación x^2 + y^2 = z^2 y tienen máximo común divisor igual a 1, es decir m.c.d.(x,y,z)=1, lo cual se expresa diciendo que los tres números son primos entre sí.
Ejercicio 2. Pruebe que si tres naturales x, y, z forman una terna Pitagórica primitiva, entonces uno de los dos, x o y, es par. Pruebe además que, en consecuencia, uno de los tres números es par.
Ejercicio 3. Pruebe que si tres números naturales x, y, z forman una terna Pitagórica primitiva, entonces tomados de a pares son también primos relativos.
Ejercicio 4. Pruebe que si a y b son números naturales primos entre sí tales que ab=c^2 con c número natural, entonces a y b son también cuadrados.
Ejercicio 5. (Caracterización de las ternas Pitagóricas). Pruebe que tres números naturales x, y, z forman una terna Pitagórica primitiva con x par, si y sólo si x=2pq, y=p^2-q^2, z=p^2+q^2.
Como una aplicación de esta caracterización de las ternas Pitagóricas, que remonta a los Babilonios, demuestre la siguiente propiedad de los triángulos Pitagóricos, denominados así los triángulos rectángulos cuyos lados son números naturales.
Ejercicio 6. Pruebe que el radio de un circulo inscrito a un triángulo Pitagórico es un entero.
Ejercicio 7. Verifique que 3, 4, 5 es la única terna Pitagórica con números naturales consecutivos.
Otro resultado notable sobre los triángulos Pitagóricos es el establecido por Fermat en los márgenes de la famosa Arithmetica de Diofanto que acostumbraba leer en sus asuetos: el área de un triángulo Pitagórico nunca puede ser un cuadrado perfecto, de lo cual logra demostración, apoyándose en otras dos teoremas probados por él mismo sobre la imposibilidad de solución en los naturales de las ecuaciones Diofánticas x^4+y^4=z^2 y x^4-y^4=z^2; tales pruebas pueden consultarse en Burton, Elementary Number Theory, 5th Edition, 2002. Se ofrece pues aquí un suculento ejercicio que enlaza 3 grandes mojones de las matemáticas: Pitágoras, Diofanto y Fermat.
Ejercicio 8. Pruebe primero que la ecuación Diofántica x^4+y^4=z^2
no tiene solución en los números naturales y obtenga de aquí como corolario que x^4+y^4=z^4 no tiene solución en los números naturales.
Ejercicio 9. Pruebe ahora que la ecuación Diofántica x^4-y^4=z^2 no tiene solución en los números naturales.no tiene solución en los números naturales y obtenga de aquí como corolario que x^4+y^4=z^4 no tiene solución en los números naturales.
Ejercicio 10. Pruebe por fin que el área de un triángulo Pitagórico nunca puede ser un cuadrado perfecto, apoyándose en los resultados de los ejercicios 8 y 9.
